ബഹുമാനപ്പെട്ട അദ്ധ്യാപകരെ,ഗണിത പ്രേമികളെ
നിങ്ങളുടെ സഹായവും ഉപദേശവും കാംക്ഷിച്ചു കൊണ്ട്ട്
അര്‍ജുന്‍
എന്റെ ഗവേഷണത്തിന്റെ ഫലമായി k Dimensional ,S sided Polygonal numbers ന്റെ n- നാംപദവും n പദങ്ങളുടെ തുകയും കാണുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞാന്‍ രൂപീകരിച്ചു .
അതായതു
ത്രികോണ സംഖ്യാ ശ്രേണി ,സമചതുര സംഖ്യാ ശ്രേണി ,പഞ്ചഭുജ സംഖ്യാ ശ്രേണി ,etc
ത്രികോണ സ്തൂപിക സംഖ്യാശ്രേണി ,സമചതുരസ്തൂപിക സംഖ്യാ ശ്രേണി ,പഞ്ചഭുജസ്തൂപിക സംഖ്യാ ശ്രേണി , etc
4Dimensional ത്രികോണസംഖ്യാ ശ്രേണി , 4Dimensional സമചതുര സംഖ്യാ ശ്രേണി etc
5Dimensional ത്രികോണസംഖ്യാ ശ്രേണി , 5Dimensional സമചതുര സംഖ്യാ ശ്രേണി etc
............................................................................................................................
k Dimensional ത്രികോണസംഖ്യാ ശ്രേണി , k Dimensional സമചതുര സംഖ്യാ ശ്രേണി etc
................................................................................................................................
K Dimensional S ഭുജസംഖ്യാ ശ്രേണി
ഇവയുടെയെല്ലാം n- നാംപദവും n പദങ്ങളുടെ തുകയും കാണുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു സൂത്രവാക്യം ഞാന്‍ രൂപീകരിച്ചു .
ഇത് എന്റെ പേരില്‍ ഏതെങ്കിലും ഗണിത ജേര്‍ണലില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിയ്ക്കുവാനും പേറ്റന്റ് എടുക്കുവാനും സഹായിക്കണമെന്ന് അഭ്യര്‍ത്ഥിക്കുന്നു . ഞാന്‍ പെരിന്തല്‍മണ്ണ ഗവ:ഹയര്‍ സെക്കണ്ടറി സ്കൂളിലെ പ്ലസ്ടു വിദ്യാര്‍ത്ഥിയായിരുന്നു ഇപ്പോള്‍ പി.ടി.എം ഗവണ്മെന്റ് കോളേജില്‍ പഠിക്കുന്നു .2011 ജനുവരിയില്‍ ആലുവയില്‍ വെച്ച് നടന്ന സംസ്ഥാന ഗണിത ശാസ്ത്ര മേളയില്‍ single project (ഹയര്‍ സെക്കന്ററി വിഭാഗം ) വിഭാഗത്തില്‍ എനിയ്ക്ക് ഒന്നാം സ്ഥാനം ലഭിച്ചതു ഈ ഗവേഷണഫലത്തിനാണ് .
ഞായറാഴ്‌ച, ജൂലൈ 17, 2011
ശനിയാഴ്‌ച, ജൂലൈ 16, 2011
Simple logical question
ഒരു ലഘു ചോദ്യം
ചന്തയില്‍ പോയി ഓറഞ്ച് വില്‍ക്കുകയാണ് രണ്ടു സ്ത്രീകള്‍ .ഒരാള്‍ പത്ത് രൂപയ്ക്ക് 3 വെച്ചും മറ്റെയാള്‍ പത്ത് രൂപയ്ക്ക് 2 വെച്ചും വില്‍ക്കുന്നു ഒരു ദിവസം ചന്തയില്‍ നിന്നും മടങ്ങുന്പോള്‍ ഓരോരുത്തരുടെയും കൈവശം 30 ഓറഞ്ച് വീതം ഉണ്ടായിരുന്നു. അവര്‍ അത് അവരുടെ ഒരു കൂട്ടുകാരിയെ ഏല്പിച്ചിട്ട് 20 രൂപയ്ക്ക് 5 വീതം വില്‍ക്കാന്‍ പറഞ്ഞു അവരുടെ കണക്ക് പ്രകാരം 10 രൂപയ്ക്ക് 3 ഉം 10 രൂപയ്ക്ക് 2 ഉം ചേര്‍ന്നാല്‍ 20 രൂപയ്ക്ക് 5 എന്നാണ് . പക്ഷെ വില്പനയ്ക്ക് ശേഷം കണക്കു നോക്കിയപ്പോള്‍ 240 രൂപ ആകെ കിട്ടി അവര്‍ ഓരോരുത്തരായി വിറ്റിരുന്നു എങ്കില്‍ ആകെ 250 രൂപ കിട്ടുമായിരുന്നു . പത്ത് രൂപ എവിടെ പോയി ?
ചന്തയില്‍ പോയി ഓറഞ്ച് വില്‍ക്കുകയാണ് രണ്ടു സ്ത്രീകള്‍ .ഒരാള്‍ പത്ത് രൂപയ്ക്ക് 3 വെച്ചും മറ്റെയാള്‍ പത്ത് രൂപയ്ക്ക് 2 വെച്ചും വില്‍ക്കുന്നു ഒരു ദിവസം ചന്തയില്‍ നിന്നും മടങ്ങുന്പോള്‍ ഓരോരുത്തരുടെയും കൈവശം 30 ഓറഞ്ച് വീതം ഉണ്ടായിരുന്നു. അവര്‍ അത് അവരുടെ ഒരു കൂട്ടുകാരിയെ ഏല്പിച്ചിട്ട് 20 രൂപയ്ക്ക് 5 വീതം വില്‍ക്കാന്‍ പറഞ്ഞു അവരുടെ കണക്ക് പ്രകാരം 10 രൂപയ്ക്ക് 3 ഉം 10 രൂപയ്ക്ക് 2 ഉം ചേര്‍ന്നാല്‍ 20 രൂപയ്ക്ക് 5 എന്നാണ് . പക്ഷെ വില്പനയ്ക്ക് ശേഷം കണക്കു നോക്കിയപ്പോള്‍ 240 രൂപ ആകെ കിട്ടി അവര്‍ ഓരോരുത്തരായി വിറ്റിരുന്നു എങ്കില്‍ ആകെ 250 രൂപ കിട്ടുമായിരുന്നു . പത്ത് രൂപ എവിടെ പോയി ?
One simple and humble Question
ഒരു വാച്ച് റിപ്പയറര്‍ സെപ്തംബര്‍ ഒന്നാം തീയതി ഉച്ചയ്ക്ക് 12 മണിയ്ക്ക് രണ്ടു വാച്ചുകള്‍ കൃത്യ സമയമാക്കി വെച്ചു .
അതിലൊന്ന് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് 10 മിനിട്ട് കൂടുതലും മറ്റേത്‌ ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് 10 മിനിട്ട് കുറവുമാണ് കാണിക്കുന്നതെങ്കില്‍ രണ്ടു വാച്ചുകളും ഒരേ സമയം കാണിക്കുന്നതെപ്പോള്‍ ആണ് ?
ഉത്തരം തെളിവ് സഹിതം വ്യക്തമാക്കുമല്ലോ
അതിലൊന്ന് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് 10 മിനിട്ട് കൂടുതലും മറ്റേത്‌ ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് 10 മിനിട്ട് കുറവുമാണ് കാണിക്കുന്നതെങ്കില്‍ രണ്ടു വാച്ചുകളും ഒരേ സമയം കാണിക്കുന്നതെപ്പോള്‍ ആണ് ?
ഉത്തരം തെളിവ് സഹിതം വ്യക്തമാക്കുമല്ലോ
വെള്ളിയാഴ്‌ച, ജൂലൈ 15, 2011
sequence 1,3,3,3,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,7...............................
The sequence is
1,3,3,3,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,7,………………………….
To find nth term
First term = 1
Second term=3
Third term =3
Fourth term=3
Fifth term=5
(1^2)th term = 1
2^2 th term= 3
3^2 th term=5
4^2 th term=7
5^2 th term=9
………………
……………..
n^2 th term=(2n-1)
EXAMPLE 1
what is 125 th term ?
121th term=11^2 th term =((2 x 11)-1)=21
144th term=12^2 th term=(2x12)-1)=23
Hence from 122 onwards and to 144th term =23
Therefore 125th term is 23
In this way we can find any term of this sequence
EXAMPLE 2
What is 1001th term ?
1001 lies between 31^2 th term and 32^2 th term
31^2 th term=((2x31)-1)=61
There fore 962th onwards to 1024th term=63
Therefore 1001th term is 63
To find the sum of n terms
Sum of 1st term=1
Sum of first 2 terms=1+3=4
Sum of first 3 terms=1+3+3=7
Sum of first 4 terms=1+3+3+3=(1^2)+(3^2)=10
Sum of first 5 terms=(1^2)+(3^2)+5=15
Sum of first 6 terms=(1^2)+(3^2)+5+5=20
Sum of first 7 terms=(1^2)+(3^2)+5+5+5=25
Sum of first 8 terms=(1^2)+(3^2)+5+5+5+5=30
Sum of first 9 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)=35
Sum of first 10 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+7=42
Sum of first 11 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+7+7=49
Sum of first 12 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+7+7+7=56
Sum of first 13 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+7+7+7+7=63
Sum of first 14 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+7+7+7+7+7=70
Sum of first 15 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+7+7+7+7+7+7=77
Sum of first 16 terms=(1^2)+(3^2)+(5^2)+(7^2)=84
Sum of (1^2) terms=1
Sum of (2^2) terms=1^2+ 3^2
Sum of (3^2) terms=1^2+3^2+5^2
Sum of (4^2) terms=1^2+3^2+5^2+7^2
……………………………………………………………………
Sum of (n^2) terms=1^2+3^2+5^2+…………..+(2n-1)^2
= (n/3) x (4(n^2) - 1)
Using this formula we can find Sum of any terms of the sequence in the following way
EXAMPLE 1
What is the sum of first 125 terms
Sum of first 121 terms(11^2) = (11/3)((4x121)-1)=1771
122nd term=23 [can be calculated by the above first method]
Sum of first 125 terms = (1771)+(23+23+23+23)=(1771)+((125-121)x23)=1863
EXAMPLE 2
What is the sum of first 1001 terms
Sum of first 961 terms(31^2) = (31/3)((4x961)-1)=39711
962th term=63 [can be calculated by the above first method]
Sum of first 1001 terms = (39711)+((1001-961)x63)=42231
In this calculation may be some figure errors, but the method is correct
വ്യാഴാഴ്‌ച, ജൂലൈ 14, 2011
ഈ ശ്രേണിയിലെ അടുത്ത നാല് പദങ്ങള്‍ പ്രവചിക്കൂ
Find the next 4 terms of this sequence or its n th term
ഈ ശ്രേണിയിലെ അടുത്ത നാല് പദങ്ങള്‍ പ്രവചിക്കൂ
1, 22, 217 , 1400 , 6860 , 27608 , 95676 , 294576 , 823650 , 2125340 , 5123426 , 11648672 , 25169452 ,52003000 , ………………………………………………………………………………………….……………..
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
Proof : when we divide the square of a natural number by 8, the remainder obtained will be 0 or 1 or 4
We don’t need the help of Lagrange’s theorem to prove that when we divide the square of a natural number by 8, the remainder obtained will be 0 or 1 or 4
Proof:
Let x be a natural number
Case 1
x= even number
x2 =(2n)2
=4n2
ie,
x2/8=4n2/8
= n2/2
=Quotient+0/2 or Quotient+1/2
= Quotient+0/8 or Quotient+4/8
There fore remainder = 0 or 4
when we divide ,a square of an even number by 8, the remainder is either 0 or 4
Case 2
x=odd number
x2=(2n+1)2
=4n2+4n+1
=4n(n+1)+1
ie,
x2/8=(4n(n+1)+1)/8
=n(n+1)/2 + 1/8
=natural number +1/8
Therefore remainder =1
when we divide ,a square of an odd number by 8, the remainder is 1
Hence ,when we divide ,a square of a natural number by 8, the remainder is 0 or 1 or 4
ഇതിനായി സബ്‌സ്ക്രൈബ് ചെയ്ത:
പോസ്റ്റുകള്‍ (Atom)